Thực đơn
Tetration
Tetration có thể được mở rộng theo hai cách khác nhau. Trong phương trình n a {\displaystyle ^{n}a\!} , cả cơ số a và tham số chiều cao n có thể được khải quát bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất của tetration. Mặc dù cơ số và tham số chiều cao có thể được mở rộng vượt ra ngoài các số nguyên dương đến các miền khác, kể cả n 0 {\displaystyle {^{n}0}} , các hàm phức như n i {\displaystyle {}^{n}i} , và tham số chiều cao của vô hạn n, các tính chất hạn chế hơn của tetration làm giảm khả năng mở rộng tetration.
Số mũ 0 0 {\displaystyle 0^{0}} không được xác định nhất quán. Như vậy, các tetration n 0 {\displaystyle \,{^{n}0}} không được xác định rõ ràng bởi các công thức đưa ra trước đó. Tuy nhiên, lim x → 0 n x {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x} được xác định rõ, và tồn tại:[11]
lim x → 0 n x = { 1 , n chẵn 0 , n lẻ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ chẵn}}\\0,&n{\text{ lẻ}}\end{cases}}}Do đó, chúng ta có thể xác định nhất quán n 0 = lim x → 0 n x {\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x} . Điều này tương tự như việc định nghĩa 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} .
Theo phần mở rộng này, 0 0 = 1 {\displaystyle {}^{0}0=1} , do đó, quy tắc 0 a = 1 {\displaystyle {^{0}a}=1} từ định nghĩa ban đầu vẫn giữ.
Kể từ khi các số phức được nâng lên thành các mũ, tetration có thể được áp dụng cho các cơ số có dạng z = a + bi (trong đó a và b là số thực). Ví dụ, trong nz với z = i, tetration đạt được bằng cách sử dụng các nhánh chính của logarit tự nhiên, sử dụng công thức Euler chúng ta được mối quan hệ:
i a + b i = e 1 2 π i ( a + b i ) = e − 1 2 π b ( cos π a 2 + i sin π a 2 ) {\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}Điều này cho thấy một định nghĩa đệ quy cho n+1i = a′ + b′i với bất kỳ ni = a + bi:
a ′ = e − 1 2 π b cos π a 2 b ′ = e − 1 2 π b sin π a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}Các giá trị gần đúng sau đây có thể được lấy:
| n i {\textstyle {}^{n}i} | Giá trị gần đúng |
|---|---|
| 1 i = i {\textstyle {}^{1}i=i} | i |
| 2 i = i ( 1 i ) {\textstyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}} | 0.2079 |
| 3 i = i ( 2 i ) {\textstyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}} | 0.9472 + 0.3208i |
| 4 i = i ( 3 i ) {\textstyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}} | 0.0501 + 0.6021i |
| 5 i = i ( 4 i ) {\textstyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}} | 0.3872 + 0.0305i |
| 6 i = i ( 5 i ) {\textstyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}} | 0.7823 + 0.5446i |
| 7 i = i ( 6 i ) {\textstyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}} | 0.1426 + 0.4005i |
| 8 i = i ( 7 i ) {\textstyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}} | 0.5198 + 0.1184i |
| 9 i = i ( 8 i ) {\textstyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}} | 0.5686 + 0.6051i |
Giải quyết các quan hệ nghịch đảo, như trong phần trước, mang lại 0i = 1 và −1i = 0, với các giá trị âm của n cho kết quả vô hạn trên trục ảo. Vẽ sơ đồ trong mặt phẳng phức, toàn bộ chuỗi xoắn ốc đến giới hạn 0.4383 + 0.3606i, mà có thể được hiểu là giá trị trong đó n là vô hạn.
Trình tự tetration như vậy đã được nghiên cứu kể từ thời Euler, nhưng được hiểu một cách kém cỏi do hành vi hỗn loạn của chúng. Hầu hết các nghiên cứu được công bố trong lịch sử đã tập trung vào sự hội tụ của hàm số mũ lặp vô hạn. Nghiên cứu hiện tại đã được hưởng lợi rất nhiều từ sự có mặt của các máy tính mạnh mẽ với fractal và phần mềm toán học tượng trưng. Phần lớn những gì được biết về tetration xuất phát từ kiến thức chung về động lực học phức tạp và nghiên cứu cụ thể về bản đồ số mũ.
Tetration có thể được mở rộng đến các tham số chiều cao vô hạn.[12] Tức là, đối với một số giá trị a và n nhất định trong n a {\displaystyle {}^{n}a} , tồn tại một kết quả được xác định rõ ràng cho một n vô hạn. Điều này là vì các cơ số trong một khoảng nhất định, tetration hội tụ đến một giá trị hữu hạn khi tham số chiều cao có xu hướng tiến đến vô cùng. Ví dụ, 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} hội tụ tại 2, và do đó, có thể nói là bằng 2. Xu hướng tới 2 có thể được nhìn thấy bằng cách đánh giá một tháp mũ hữu hạn nhỏ:
2 2 2 2 2 1.414 ≈ 2 2 2 2 1.63 ≈ 2 2 2 1.76 ≈ 2 2 1.84 ≈ 2 1.89 ≈ 1.93 {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}Nói chung, số mũ lặp lại vô hạn x x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!} , được định nghĩa là giới hạn của n x {\displaystyle {}^{n}x} khi n tiến đến vô cùng, hội tụ cho e−e ≤ x ≤ e1/e, đại khái khoảng từ 0.066 đến 1.44, một kết quả được hiển thị bởi Leonhard Euler.[13] Giới hạn, nó nên tồn tại, là một số thực dương của phương trình y = xy. Như vậy, x = y1/y. Giới hạn xác định tetration vô hạn của x không hội tụ cho x > e1/e bởi vì tối đa của y1/y là e1/e.
Điều này có thể được mở rộng thành số phức z với định nghĩa:
∞ z = z z ⋅ ⋅ ⋅ = W ( − ln z ) − ln z , {\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}Trong đó W đại diện cho hàm W Lambert.
Như giới hạn y = ∞x (nếu tồn tại, tức là cho e−e < x < e1/e) phải thoả mãn xy = y chúng ta thấy rằng x ↦ y = ∞x là (nhánh dưới của) hàm nghịch đảo của y ↦ x = y1/y.
Chúng ta có thể sử dụng quy tắc đệ quy cho tetration,
k + 1 a = a ( k a ) , {\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}để chứng minh − 1 a {\displaystyle {}^{-1}a} :
k a = log a ( k + 1 a ) ; {\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);}Thay −1 cho k sẽ cho
− 1 a = log a ( 0 a ) = log a 1 = 0 {\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0} .[10]Các giá trị âm nhỏ hơn không thể được xác định rõ theo cách này. Thay −2 cho k trong cùng phương trình sẽ cho
− 2 a = log a ( − 1 a ) = log a 0 {\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}mà không được xác định rõ. Họ có thể, tuy nhiên, đôi khi được coi là các bộ.[10]
Đối với n = 1 {\displaystyle n=1} , mọi định nghĩa của − 1 1 {\displaystyle \,\!{^{-1}1}} đều phù hợp với quy tắc bởi vì
0 1 = 1 = 1 n {\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}} for any n = − 1 1 {\displaystyle \,\!n={^{-1}1}} .Tại thời điểm này không có giải pháp thông thường được chấp nhận cho vấn đề chung là mở rộng tetration thành giá trị thực và phức của n. Tuy nhiên, đã có nhiều cách tiếp cận đối với vấn đề này và các cách tiếp cận khác nhau được nêu ra dưới đây.
Nói chung, vấn đề là tìm kiếm — với mọi số thực a > 0 — một hàm siêu mũ f ( x ) = x a {\displaystyle \,f(x)={}^{x}a} trên số thực x > −2 thỏa mãn
Để tìm thêm phần mở rộng số tự nhiên, thường cần một hoặc nhiều yêu cầu bổ sung. Điều này thường là một số tập hợp sau đây:
Yêu cầu thứ tư khác nhau từ tác giả đến tác giả, và giữa các cách tiếp cận. Có hai cách tiếp cận chính để mở rộng tetration lên tham số chiều cao thực, một là dựa trên yêu cầu thường xuyên, và một là dựa trên yêu cầu khả vi. Hai cách tiếp cận này dường như khác nhau đến mức chúng có thể không thể đối chiếu, vì chúng tạo ra kết quả không nhất quán với nhau.
Khi x a {\displaystyle \,{}^{x}a} được xác định cho một khoảng có độ dài một, toàn bộ hàm dễ dàng theo sau với tất cả x > −2.
Một xấp xỉ tuyến tính (giải pháp cho yêu cầu liên tục, gần đúng với yêu cầu khả vi) được đưa ra bởi:
x a ≈ { log a ( x + 1 a ) x ≤ − 1 1 + x − 1 < x ≤ 0 a ( x − 1 a ) 0 < x {\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}vì thế:
| Xấp xỉ | Miền |
|---|---|
| x a ≈ x + 1 {\textstyle {}^{x}a\approx x+1} | for −1 < x < 0 |
| x a ≈ a x {\textstyle {}^{x}a\approx a^{x}} | for 0 < x < 1 |
| x a ≈ a a ( x − 1 ) {\textstyle {}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}} | for 1 < x < 2 |
vân vân. Tuy nhiên, nó chỉ là khả vi, tại các giá trị nguyên của x đạo hàm được nhân với ln a {\displaystyle \ln {a}} . Nó liên tục được khả vi cho x > − 2 {\displaystyle x>-2} khi và chỉ khi a = e {\displaystyle a=e} . Ví dụ, sử dụng các phương pháp này π 2 e ≈ 5.868... {\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...} và − 4.3 0.5 ≈ 4.03335... {\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}
Một định lý chính trong bài báo Hooshmand[7] phát biểu: Đặt 0 < a ≠ 1 {\displaystyle 0<a\neq 1} . Nếu f : ( − 2 , + ∞ ) → R {\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} } là liên tục và thỏa mãn các điều kiện sau:
thì f {\displaystyle f} được xác định duy nhất thông qua phương trình
f ( x ) = exp a [ x ] ( a ( x ) ) = exp a [ x + 1 ] ( ( x ) ) for all x > − 2 , {\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\quad {\text{for all}}\;\;x>-2,}trong đó ( x ) = x − [ x ] {\displaystyle (x)=x-[x]} biểu thị phần phân số của exp a [ x ] {\displaystyle \exp _{a}^{[x]}} là [ x ] {\displaystyle [x]} -hàm lặp của hàm exp a {\displaystyle \exp _{a}} .
Bằng chứng là điều kiện thứ hai đến thứ tư ngụ ý tầm thường rằng f là hàm tuyến tính trên [−1, 0].
Phép xấp xỉ tuyến tính với hàm tetration tự nhiên x e {\displaystyle {}^{x}e} liên tục được khả vi, nhưng đạo hàm thứ hai của nó không tồn tại ở các giá trị nguyên của đối số của nó. Hooshmand đã đưa ra một định lý duy nhất cho nó, trong đó nêu rõ:
Nếu f : ( − 2 , + ∞ ) → R {\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} } là một hàm liên tục thỏa mãn:
sau đó f = uxp {\displaystyle f={\text{uxp}}} . [Ở đây f = uxp {\displaystyle f={\text{uxp}}} là tên của Hooshmand cho phép tính gần đúng tuyến tính với hàm tetration tự nhiên.]
Bằng chứng là giống như trước đây, phương trình đệ quy đảm bảo rằng f ′ ( − 1 + ) = f ′ ( 0 + ) , {\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),} và sau đó điều kiện lồi ngụ ý rằng f {\displaystyle f} là tuyến tính trên (−1, 0).
Do đó, phép xấp xỉ tuyến tính với tetration tự nhiên là giải pháp duy nhất của phương trình f ( x ) = e f ( x − 1 ) ( x > − 1 ) {\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)} và f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(0)=1} là hàm lồi trên (−1, +∞). Tất cả các giải pháp đủ khả vi khác phải có điểm uốn trên khoảng (−1, 0).
Ngoài các xấp xỉ tuyến tính, xấp xỉ bậc hai (theo yêu cầu khả vi) được đưa ra bởi:
x a ≈ { log a ( x + 1 a ) x ≤ − 1 1 + 2 ln ( a ) 1 + ln ( a ) x − 1 − ln ( a ) 1 + ln ( a ) x 2 − 1 < x ≤ 0 a ( x − 1 a ) x > 0 {\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}có thể phân biệt cho tất cả x > 0 {\displaystyle x>0} , nhưng không hai lần khả vi. Ví dụ, 1 2 2 ≈ 1.45933... {\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...} Nếu a = e {\displaystyle a=e} thì đây gần giống như xấp xỉ tuyến tính.[2]
Bởi vì cách tính toán, hàm này không "hủy bỏ", trái với số mũ, trong đó ( a 1 n ) n = a {\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a} . Cụ thể là,
n ( 1 n a ) = ( 1 n a ) ( 1 n a ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( 1 n a ) ⏟ n ≠ a {\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a} .Cũng như có một xấp xỉ bậc hai, xấp xỉ bậc ba và phương pháp để khái quát hóa cho xấp xỉ bậc n cũng tồn tại, mặc dù chúng khó sử dụng hơn nhiều.[2][15]
Hiện tại đã chứng minh[16] rằng tồn tại một hàm F duy nhất là một nghiệm của phương trình F(z + 1) = exp(F(z)) và thỏa mãn các điều kiện bổ sung mà F(0) = 1 và F(z) tiếp cận các điểm cố định của logarit (khoảng 0.318 ± 1.337i) khi z tiếp cận ±i∞ và F là biến hình trong toàn bộ mặt phẳng phức z-phức, ngoại trừ một phần của trục sô thực tại z ≤ −2. Bằng chứng này xác nhận một phỏng đoán trước đó.[17] Bản đồ phức của chức năng này được hiển thị trong hình bên phải. Bằng chứng cũng hoạt động cho các cơ số khác ngoài e, miễn là cơ sở đó lớn hơn e 1 e {\displaystyle e^{\frac {1}{e}}} .
Yêu cầu của tetration là chỉnh hình rất quan trọng cho tính độc đáo của nó. Nhiều chức năng S có thể được xây dựng như
S ( z ) = F ( z + ∑ n = 1 ∞ sin ( 2 π n z ) α n + ∑ n = 1 ∞ ( 1 − cos ( 2 π n z ) ) β n ) {\displaystyle S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)}trong đó α và β là các chuỗi thực sự phân rã đủ nhanh để cung cấp sự hội tụ của dãy liên tiếp nhau, ít nhất là ở các giá trị vừa phải của Im z.
Hàm S thỏa mãn các phương trình tetration S(z + 1) = exp(S(z)), S(0) = 1, và nếu αn và βn tiếp cận 0 đủ nhanh nó sẽ được phân tích trên một vùng lân cận của trục số thực dương. Tuy nhiên, nếu một số phần tử của {α} hoặc {β} không bằng không, thì hàm S có vô số các điểm kỳ dị bổ sung và đường cắt trong mặt phẳng phức, do sự tăng trưởng theo cấp số nhân của sin và cos dọc theo trục tưởng tượng. Các hệ số {α} và {β} càng nhỏ thì, các điểm kỳ dị này càng xa trục thực.
Do đó, việc mở rộng tetration vào mặt phẳng phức là rất cần thiết cho sự độc đáo. Tetration phân tích thực không phải là duy nhất.
Thực đơn
TetrationLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Tetration